数学公式渲染测试

本文测试各种数学公式的渲染效果，确保 KaTeX 集成正常工作。

基础公式测试

行内公式

这是一个行内公式示例：$E = mc^2$，爱因斯坦的质能方程。

另一个行内公式：当 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 时，二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解。

块级公式

$$\frac{\partial}{\partial t} \int_{\Omega} \rho \, d\Omega + \int_{\partial \Omega} \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \, dS = 0$$

机器学习相关公式

损失函数

交叉熵损失函数：

$$\mathcal{L} = -\sum_{i=1}^{N} y_i \log(\hat{y}_i) + (1-y_i) \log(1-\hat{y}_i)$$

梯度下降

参数更新规则：

$$\theta_{t+1} = \theta_t - \alpha \nabla_\theta \mathcal{L}(\theta_t)$$

注意力机制

Scaled Dot-Product Attention：

$$\text{Attention}(Q, K, V) = \text{softmax}\left(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}}\right)V$$

Transformer 位置编码

$$PE_{(pos, 2i)} = \sin\left(\frac{pos}{10000^{2i/d_{model}}}\right)$$ $$PE_{(pos, 2i+1)} = \cos\left(\frac{pos}{10000^{2i/d_{model}}}\right)$$

强化学习公式

Q-Learning 更新规则

$$Q(s_t, a_t) \leftarrow Q(s_t, a_t) + \alpha \left[ r_{t+1} + \gamma \max_a Q(s_{t+1}, a) - Q(s_t, a_t) \right]$$

PPO 目标函数

$$L^{CLIP}(\theta) = \hat{\mathbb{E}}_t \left[ \min\left( r_t(\theta) \hat{A}_t, \text{clip}(r_t(\theta), 1-\epsilon, 1+\epsilon) \hat{A}_t \right) \right]$$

其中 $r_t(\theta) = \frac{\pi_\theta(a_t|s_t)}{\pi_{\theta_{old}}(a_t|s_t)}$

策略梯度

$$\nabla_\theta J(\theta) = \mathbb{E}_{\tau \sim \pi_\theta} \left[ \sum_{t=0}^{T} \nabla_\theta \log \pi_\theta(a_t|s_t) R(\tau) \right]$$

统计学习公式

贝叶斯定理

$$P(A|B) = \frac{P(B|A) P(A)}{P(B)}$$

高斯分布

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

KL散度

$$D_{KL}(P||Q) = \int_{-\infty}^{\infty} p(x) \log\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right) dx$$

复杂数学表达式

矩阵运算

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

求和与积分

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$ $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

分段函数

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases}$$

矩阵操作

设 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，$B \in \mathbb{R}^{n \times p}$，则：

$$(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$$

大型公式测试

LSTM 门控机制

$$\begin{align} f_t &= \sigma(W_f \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_f) \\ i_t &= \sigma(W_i \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_i) \\ \tilde{C}_t &= \tanh(W_C \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_C) \\ C_t &= f_t * C_{t-1} + i_t * \tilde{C}_t \\ o_t &= \sigma(W_o \cdot [h_{t-1}, x_t] + b_o) \\ h_t &= o_t * \tanh(C_t) \end{align}$$

反向传播

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial W^{(l)}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z^{(l+1)}} \frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial a^{(l)}} \frac{\partial a^{(l)}}{\partial z^{(l)}} \frac{\partial z^{(l)}}{\partial W^{(l)}}$$

公式编号测试

重要的欧拉恒等式：

$$e^{i\pi} + 1 = 0 \tag{1}$$

薛定谔方程：

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t) \tag{2}$$

结论

以上测试涵盖了：

• ✅ 行内公式渲染
• ✅ 块级公式渲染
• ✅ 复杂数学表达式
• ✅ 多行公式对齐
• ✅ 矩阵和向量表示
• ✅ 分段函数
• ✅ 积分和求和符号
• ✅ 希腊字母和特殊符号

如果所有公式都能正确显示，说明 KaTeX 集成成功！